De afgeleide

Wacht tot je hieronder de knop met Plot Afgeleide ziet verschijnen, dat kan soms even duren ...

(Op je computer moet wel de Java VM geïnstalleerd zijn. Dat is bij Win XP niet automatisch het geval. Klik hier, als de startknop ook na even wachten niet verschijnt.)

Dit applet toont de grafiek van een functie f(x) in het linkervenster en de grafiek van zijn afgeleide f '(x) in het rechtervenster. Zie hieronder voor een applet dat naast de afgeleide ook nog de tweede afgeleide toont.
De x-coördinaat van het raakpunt is in te stellen met het schuifje of d.m.v. invullen in het vakje. De raaklijn wordt getoond.
Onderin zie je de formule van de afgeleide. Die kan er soms wat vreemd uitzien. Bijv. de afgeleide van tan(x) wordt getoond als sec(x)^2; hierin staat sec voor secans, sec(x) betekent 1/cos(x).
Als afgeleide van de absolute waardefunctie abs(x) krijg je (x>0) ? (1) : (x<0? (-1)), wat betekent: ' als x>0 dan 1 en anders, als x<0 dan -1 ' (en niet gedefinieerd als x=0). (Zie de toelichting bij Functie Plotter.)
Bij sqrt(x^2), wat hetzelfde is als abs(x), zien we als afgeleide 1/(2*sqrt(x^2))*2x, wat gelijk is aan 2x/(2sqrt(x²))=x/abs(x), wat ook juist is. (Net als op het rekenapparaat zijn vermenigvuldigen en delen gelijkwaardige bewerkingen, de rekenvolgorde is van links naar rechts.)
Het laatste voorbeeld is de functie f(x)=x*sin(1/x). Bekijk het gedrag in de buurt van x=0 door inzoomen. Linkermuisknop ingedrukt houden en zoomgebied afbakenen. Herhaal dit een paar keer. Het is duidelijk dat f(x) tot 0 nadert als x tot 0 nadert, dus we zouden kunnen definiëren f(0)=0. Een differentieerbare functie gaat bij inzoomen plaatselijk steeds meer op een rechte lijn lijken, dat is hier in x=0 duidelijk niet het geval.

Bij een functie f die wel differentieerbaar is in a, kunnen we de waarde van f '(a) d.m.v. inzoomen op (a, f(a)) inschatten als de rc van de grafiek die er plaatselijk als een lijnstukje uitziet. Zoom in door herhaaldelijk met ingedrukte linkermuisknop een gebiedje af te bakenen. Voordat je de rc schat eerst op de knop 'Equalize Axes' klikken!

Het volgende applet vertoont naast de eerste afgeleide ook nog de tweede afgeleide:

Bij een functie f, die differentieerbaar is in x = x_A geldt:

Als h nadert tot 0, dan nadert punt B over de grafiek naar punt A. De lijn AB ("secant" in de terminologie van het applet hierna) nadert dan tot de raaklijn k in A (de "tangent").

De richtingscoëfficient ("slope") van lijn AB is
rc_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (f(x+h) - f(x)) / h.
Als h tot 0 nadert dan nadert rc_AB tot rc_k, de rc van de raaklijn k. Er geldt f '(x) = rc_k.

Dit wordt in het volgende applet geillustreerd. Je kunt het raakpunt A (rood) en/of het snijpunt B verslepen.

Gebaseerd op Java Components for Mathematics.